142857 একটি 6 অংকের সংখ্যা । না না এটা কোনো সাধারণ সংখ্যা নয়। আর এটার আছে এক অসাধারণ মজার বৈশিষ্ট্য আর তাই এটা একটা চক্রাবৃত্ত সংখ্যা বা cyclic number আর এটাই ক্ষুদ্রতম চক্রাবৃত্ত সংখ্যা । এখন দেখা যায় চক্রাবৃত্ত সংখ্যা কি আর কিই বা এর মজার বৈশিষ্ট্য ।
ধরি n অংকের একটি সংখ্যা । আর এটা চক্রাবৃত্ত সংখ্যা হবে তখনই যখন তাকে 1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে প্রতিবারই গুণফলের অংকগুলি চক্রাকারে ঘুরে ফিরে আসে । একটা উদাহরণের সাহায্যে ব্যাপারটা সহজ করা যাক। 142857 সংখ্যাটিকে 1 থেকে 6 পর্যন্ত সংখ্যা দিয়ে গুণ করা হল ।
এখানে দেখা যাচ্ছে 142857 এর অংকগুলিকে অর্থাৎ 1,4,2,8,5,7 এগুলি প্রতিবার গুনফল হিসাবে চক্রাকারে (cyclic order) ঘুরে ফিরে আসে। তাই এটা একটা চক্রাবৃত্ত সংখ্যা ।
দেখা গেছে নির্দিষ্ট কিছু মৌলিক সংখ্যার অনন্যককে (reciprocal) দশমিকে প্রকাশ করার সময় আবৃত্ত দশমিক পাওয়া যায়। আর পর্যায়ক্রমিক ভাবে আসা সংখ্যাটি চক্রাবৃত্ত সংখ্যা । যেমন মৌলিক সংখ্যা 7 এর অনন্যক হল 1/7 যাকে দশমিকে প্রকাশ করে পাই । .142857142857142857…… ইত্যাদি । এখান থেকেই আমরা 142857 সংখ্যাটি পেয়ে থাকি ।
তাহলে আমরা বলতে পারি কোনো মৌলিক সংখ্যা p এর জন্য 1/p যদি একটি (p-1) অংকের আবৃত্ত দশমিক সংখ্যার সৃষ্টি করে তখন আমরা চক্রাবৃত্ত সংখ্যা পাই। 7 এর পরে যে মৌলিক সংখ্যাটি চক্রাবৃত্ত সংখ্যা সৃষ্টি করে তা হল 17 আমরা এক্ষেত্রে 16 অংকের 0588235294117647 সংখ্যাটি পাই। অর্থাৎ এই সংখ্যাটিকে 1 থেকে 16 পর্যন্ত সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে ঐ অংকগুলি পর্যায়ক্রমিক ভাবে পাব। দেখা গেছে 100 এর ছোটো মৌলিক সংখ্যা হিসাবে 7,17,19,23,29,47,59,61,97 সংখ্যাগুলি চক্রাবৃত্ত সংখ্যা তৈরী করতে পারে ।
এবার চক্রাবৃত্ত সংখ্যার আরো কিছু মজার বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করব।
(১) চক্রাবৃত্ত সংখ্যাটি যে মৌলিক সংখ্যার অনন্যক থেকে পাওয়া যায় তার সাথে সংখ্যাটিকে গুণ করলে যে সংখ্যাটি পাই তার সমস্ত অংকই ‘9’ আর তার অংক সংখ্যা চক্রাবৃত্ত সংখ্যাটির সমান ।
অর্থাৎ 142857 সংখ্যাটির ক্ষেত্রে মৌলিক সংখ্যাটি হল 7 (generating prime) তাই
(২) যেহেতু এই চক্রাবৃত্ত সংখ্যার (p-1) সংখ্যক অংক থাকে অর্থাৎ জোড় সংখ্যক অংক থাকে । তাদেরকে দু ভাগে ভাগ করে যোগ করলে যোগফলের সব অংকই 9 হবে ।
অর্থাৎ 142857 সংখ্যাটিকে দুভাগে ভাগ করে যোগ করলে পাই
(৩) তাহলে আমরা জানলাম যে চক্রাবৃত্ত সংখ্যাকে তার অংক সংখ্যা পর্যন্ত সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে ঐ অংক গুলিই ঘুরেফিরে আসে। আবার (n+1) দিয়ে গুন করলে গুণফলের সব অঙ্কই ৯ হয়ে যায় । তাহলে (n+1) এর বেশী সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে কি হবে?
সেক্ষেত্রেও রয়েছে বৈচিত্র, (n+1) এর চেয়ে বেশী সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফলকে বিশেষ এক পদ্ধতিতে চক্রাবৃত্ত সংখ্যার cyclic permutation - এ (অর্থাৎ এখানে 1,4,2,8,5,7 সংখ্যা দিয়ে যে ৬ টি সংখ্যা তৈরী করা যায় ) পরিণত করা যায় । বা এমন সংখ্যায় পরিণত করা যায় তার সব অঙ্কই ৯ ।
একটা উদাহরণের সাহায্যে ব্যাখ্যা করি ।
142857 সংখ্যাটির অঙ্ক সংখ্যা 6 এর থেকে বড় সংখ্যা 12 দিয়ে গুণ ন করলাম । তারপর ডানদিক থেকে 6 টি অঙ্ক নিয়ে বাকি অঙ্কের সাথে যোগ করলাম ।
তাহলে পেলাম আবার সেই চক্রাবৃত্ত সংখ্যার cyclic permutation . এখানে যদি যোগফল 6 অঙ্কের বেশী হয়ে যেত তাহলে আবার যোগের এই পদ্ধতি ব্যবহার করতে হত।
No comments:
Post a Comment